153: o buraco negro matemático escondido nos números

Pegue um número qualquer. Eleve cada um dos seus algarismos ao cubo. Some os resultados. Repita o processo com o número que sobrar.

Tente com 999: 999 → 2187 → 864 → 792 → 1080 → 513 → 153. Seis passos, e a sequência para. 153 não muda mais, porque 1³+5³+3³ = 1+125+27 = 153. O número virou seu próprio destino.

Isso não acontece com qualquer número que você escolher. 2026, por exemplo, vai para outro lugar: 2026 → 232 → 43 → 91 → 730 → 370. E fica em 370 — não em 153. O fenômeno é real, mas não é universal. Entender onde ele funciona, e por quê, é mais interessante do que a curiosidade isolada.

Um número que se admira no espelho

153 pertence a uma classe que a matemática recreativa batizou, sem muita modéstia, de números narcisistas: a soma das potências dos próprios algarismos devolve o próprio número. Abaixo de mil, há só mais três — 370, 371 e 407.

O nome “número narcisista” foi proposto em 1966 por Joseph S. Madachy, no livro Mathematics on Vacation. Na mesma década, do outro lado do Atlântico americano, um professor de Fortran na Universidade de Rochester chegou ao mesmo lugar por outro caminho: Michael F. Armstrong usava esses números como exercício de programação para seus alunos. Décadas depois, já identificado por pesquisadores que tentavam descobrir quem ele era, contou que ainda guardava o rascunho original do exercício, manchado de café. Os dois nomes — narcisista e número de Armstrong — sobrevivem em paralelo até hoje para descrever a mesma propriedade.

Dois fenômenos, um nome emprestado

Vale uma distinção que a maioria dos textos sobre o assunto borra. “Número narcisista” tem uma definição fixa: para um número de d algarismos, cada algarismo é elevado à d-ésima potência. Por isso 1634 é narcisista com expoente 4 (1⁴+6⁴+3⁴+4⁴ = 1634), e o mesmo vale para 8208 e 9474.

Só que cubar — elevar ao cubo, sempre, independente de quantos algarismos o número tenha — não é a mesma operação. Se você aplica a soma dos cubos a 1634, o resultado é 308, não 1634. A propriedade que faz 1634 ser narcisista usa potência 4, não potência 3.

A coincidência só acontece exatamente para números de três algarismos, porque ali as duas regras colidem: potência 3 é, ao mesmo tempo, “elevar à quantidade de algarismos” e “elevar sempre ao cubo”. É por isso que os quatro números narcisistas de três dígitos — 153, 370, 371, 407 — são também os únicos quatro pontos onde a operação “some os cubos dos algarismos” devolve o próprio número, qualquer que seja o tamanho do número de partida. O truque do início deste texto usa essa segunda regra, a do cubo fixo, não a definição geral de número narcisista.

Por que o processo sempre termina

Repetir uma soma de cubos parece o tipo de processo que poderia crescer para sempre. Não cresce, e dá para provar isso sem fórmulas complicadas.

Um número de d algarismos vale, no mínimo, 10^(d-1). A soma dos cubos dos seus algarismos, por outro lado, nunca passa de 729·d (porque 9³ = 729, e há d algarismos no máximo). Para d = 5, por exemplo, o maior valor possível da soma de cubos é 3.645 — menor que 10.000, o menor número de cinco algarismos. Ou seja: qualquer número com cinco algarismos ou mais despenca para um valor de, no máximo, quatro algarismos já no primeiro passo.

A partir de cinco algarismos, a soma dos cubos cresce de forma linear (729 vezes a quantidade de algarismos) enquanto o próprio número cresce de forma exponencial. A corrida é desigual, e o número perde. Qualquer número, por maior que seja, despenca em poucos passos para um intervalo pequeno — abaixo de 10.000 — e dali em diante o processo só pode terminar em um de nove lugares: um dos cinco pontos fixos (1, 153, 370, 371, 407) ou um de quatro ciclos curtos que se repetem para sempre, como 919 → 1.459 → 919.

Por que 153 ganha mais que os outros

Testei os 999 primeiros números inteiros, um por um, em Python. O resultado, com a porcentagem de números que terminam em cada destino:

153 não é uma maioria absoluta — 371 chega perto, e juntando 370 com 371 eles somam quase metade dos números testados. Mas 153 é, isoladamente, o destino mais comum de todos. E, diferente dos outros, tem uma explicação completa, não só estatística.

A explicação usa um fato pequeno sobre cubos: para qualquer algarismo de 0 a 9, o cubo dele tem o mesmo resto na divisão por 3 que o próprio algarismo. (Isso é uma consequência do Pequeno Teorema de Fermat, que garante que, para qualquer número inteiro x, x³ deixa o mesmo resto que x ao dividir por 3.) Some essa propriedade algarismo por algarismo, e o resultado é que a soma dos cubos dos algarismos de um número sempre deixa o mesmo resto, na divisão por 3, que o número original. A operação nunca muda essa categoria — só transforma o número, mantendo o “selo” de múltiplo de 3, ou de resto 1, ou de resto 2.

Entre os nove destinos possíveis, só um é múltiplo de 3: o próprio 153 (153 ÷ 3 = 51). Os outros oito — 1, 370, 371, 407 e os quatro ciclos — não são. Como a categoria nunca muda durante o processo, qualquer número que comece como múltiplo de 3 só pode terminar em 153, porque é o único destino disponível para essa categoria. E vale o contrário também: só múltiplos de 3 terminam em 153. Verifiquei essa via de mão dupla por computador para todos os números de 1 a 99.999, sem uma única exceção.

Como um terço de todos os números inteiros são múltiplos de 3, isso explica exatamente a fração que vimos na tabela: 33,3% — nem um pouco mais, nem um pouco menos.

Hardy achava isso banal

Em 1940, o matemático britânico G.H. Hardy publicou A Mathematician’s Apology, um pequeno ensaio sobre o que faz a matemática valer a pena. Na página 25, ele cita os quatro números narcisistas de três dígitos — 153, 370, 371, 407 — como exemplo do tipo de fato que não interessa a um matemático de profissão: divertido para uma coluna de quebra-cabeças, mas incapaz de generalização séria, sem ligação com nada maior.

A comparação que Hardy fazia no mesmo livro é com Srinivasa Ramanujan, o matemático indiano que ele orientou em Cambridge. A história mais contada sobre os dois é a do táxi: Hardy comentou que o número da placa do táxi em que chegara, 1729, lhe parecera “meio sem graça”. Ramanujan discordou na hora — 1729 é o menor número que pode ser escrito como soma de dois cubos de duas formas diferentes (1³+12³ e 9³+10³). Essa propriedade generaliza: hoje existe uma família inteira de “números taxicab” definida a partir dela.

Hardy tinha razão sobre uma coisa: 153 = 1³+5³+3³, como fato isolado, não generaliza para nada. Mas a pergunta que ele não fez — o que acontece quando você repete essa soma de cubos para qualquer número de partida — tem exatamente o tipo de resposta que ele valorizava: uma prova completa, usando o Pequeno Teorema de Fermat, que explica com precisão por que 153 domina entre os múltiplos de 3. A propriedade estática é banal. A dinâmica por trás dela não é.

(Para contraste rápido: o mesmo tipo de processo, mas somando os quadrados em vez dos cubos dos algarismos, dá origem aos “números felizes” — uma versão binária do fenômeno, em que um número chega a 1 ou cai num único ciclo de infelicidade conhecido: 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4. Entre 1 e 999, 14,2% dos números são felizes nesse sentido. Com cubos, em vez de dois destinos há nove — e um deles, 153, ganha por motivos que dá para provar.)

A segunda visita desse número aqui

Este blog já falou de 153 antes, num contexto bem diferente: a pesca miraculosa de João 21.11, e as várias leituras patrísticas e exegéticas que tentam explicar por que o evangelista contou os peixes um a um. Nenhuma das duas histórias precisa da outra para funcionar — a matemática deste post não prova nada sobre teologia, e a teologia do outro post não prova nada sobre teoria dos números.

Mas as duas concordam num ponto: 153 não é um número qualquer. Uma tradição de dezessete séculos encontrou nele uma soma exata de triângulos, leis e graças. A teoria dos números encontrou um ponto de convergência que atrai exatamente um terço de todos os inteiros, por um motivo que se prova em poucas linhas. São dois tipos de atenção completamente diferentes, prestados ao mesmo número, por razões que não têm nada em comum — e isso, por si só, já é mais interessante do que qualquer coincidência teria sido.

Referências

• G.H. Hardy, A Mathematician’s Apology, Cambridge University Press, 1940
• Henk Koppelaar e Peyman Nasehpour, “On Hardy’s Apology Numbers”, arXiv:2008.08187
• “Narcissistic number”, Wikipédia em inglês
• OEIS A005188 — Armstrong (narcissistic, pluperfect digital invariant) numbers
• OEIS A346630 — menor número que alcança 153 após n passos
• Ria Symonds, “153 and Narcissistic Numbers”, Numberphile
• 153 peixes em João 21: matemática escondida no Evangelho — post anterior deste blog